到目前为止，积分一直是测量单条曲线与固定x轴之间空间的工具。但如果地面本身在移动呢？在这节课中，我们将超越坐标轴，学习如何计算两条独立函数边界 $f(x)$ 与 $g(x)$ 之间区域的面积。
差值的几何意义
为了求出由 $y = f(x)$ 与 $y = g(x)$ 在 $x = a$ 到 $x = b$ 之间所围成的区域 $S$ 的面积 $A$，我们使用了构建微积分基础的黎曼和逻辑。
黎曼和的延伸
我们将该区域划分为 $n$ 个垂直条带。若 $x_i^*$ 是第 $i$ 个区间内的一个采样点，则近似矩形的高度不仅是 $f(x_i^*)$，而是 差值 上曲线和下曲线高度之间的差值：
$$h = f(x_i^*) - g(x_i^*)$$
从求和到积分
当我们把条带数量增加到无穷大（$n \to \infty$）时，这些矩形面积之和收敛为定积分：
核心公式：
$$A = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} [f(x_i^*) - g(x_i^*)] \Delta x = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx$$
其中 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$。
绝对差值法则
如果两条曲线相交会怎样？如果我们简单地对 $f-g$ 进行积分，而实际上 $g$ 位于 $f$ 上方，我们将得到负结果。为确保始终计算面积的 大小 ，我们必须使用绝对值：
$$A = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx$$
🎯 面积公式定理
如果 $f$ 和 $g$ 是连续函数，且对所有 $x \in [a, b]$ 都有 $f(x) \ge g(x)$，则由 $y = f(x)$、$y = g(x)$、$x = a$ 与 $x = b$ 所围成区域的面积 $A$ 为：
$$A = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx$$
例1：指数函数与线性函数
求由 $y = e^x$ 在上方、$y = x$ 在下方，从 $x = 0$ 到 $x = 1$ 所围成的面积。
$$A = \int_0^1 (e^x - x) dx = [e^x - \frac{1}{2}x^2]_0^1 = (e - \frac{1}{2}) - (e^0 - 0) = e - 1.5 \approx 1.218$$